FANDOM


aj lasj laksj laksjdd la inny dowód asjsd oad oa apOIS CAS.dowi qowd oisasjc /OII DOaiisj c skdjf lsdkj lskdjflll

$ \scriptstyle\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 = \left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)\right)^2, $

akjsh alsdfh alskdfh aljksdfhsdj laskdj lskdj lsdj flintegers $ \scriptstyle (a,b,c) $ such that $ \scriptstyle a^2+b^2=c^2 $dlfkj gldfj gldjf lg j dflgj Konstrukcja Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej $ \scriptstyle AB $ w punkcie $ \scriptstyle P $ kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

krok 1: nakreślić okrąg o środku $ \scriptstyle P, $ w celu znalezienia na prostej $ \scriptstyle AB $ punktów $ \scriptstyle A^' $ i $ \scriptstyle B^' $ równoodległych od $ \scriptstyle P; $

krok 2: nakreślić okręgi o środkach w $ \scriptstyle A' $ oraz $ \scriptstyle B', $ które przechodzącą przez $ \scriptstyle P; $ punkt $ \scriptstyle Q $ będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;

krok 3: połączyć $ \scriptstyle P $ oraz $ \scriptstyle Q, $ aby skonstruować szukaną prostopadłą $ \scriptstyle PQ. $ Aby udowodnić, że $ \scriptstyle PQ $ rzeczywiście jest prostopadła do $ \scriptstyle AB $ wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów $ \scriptstyle QPA^' $ oraz $ \scriptstyle QPB^', $ które zapewnia o równości miar kątów $ \scriptstyle OPA^' $ i $ \scriptstyle OPB^'. $ Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów $ \scriptstyle OPA^' $ oraz $ \scriptstyle OPB^' $ otrzymuje się równość miar kątów $ \scriptstyle POA $ i $ \scriptstyle POB. $



to było proste. Teraz coś trudniejszego, co pokaże nam pożytek wynikający ze stosowania niekoniecznie równych wag:

       Ukryta treść:    
       <input type="button" value="Pokaż" style="width: 45px; font-size: 10px; margin: 0px; padding: 0px;" onclick="
           if (this.parentNode.parentNode.getElementsByTagName('div')[1].style.display != )
           {
               this.parentNode.parentNode.getElementsByTagName('div')[1].style.display = ; 
               this.innerText = ;
               this.value = 'Ukryj';
           }
           else
           {
               this.parentNode.parentNode.getElementsByTagName('div')[1].style.display = 'none';
               this.innerText = ;
               this.value = 'Pokaż';
           }
       " />


$ \scriptstyle \sqrt{(b + c)(2a + b + c)} + \sqrt{(a + c)(a + 2b + c)} + \sqrt{(a + b)(a + b + 2c)} \le 2\sqrt{2} $ </div><center>$ \sqrt{(b + c)(2a + b + c)} + \sqrt{(a + c)(a + 2b + c)} + \sqrt{(a + b)(a + b + 2c)} \le 2\sqrt{2} $<left>
dla nieujemnych $ a,b,c $ sumujących się do 1.
Nie jest to zbyt trudna nierówność i można ją rozwiązać na kilka sposobów.
Przepiszmy ją jako: <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/6/0/600ebd0227c6ef8e8b831b070dd7a84f.png' alt="\sqrt{1-a^2}+ \sqrt{1-b^2}+ \sqrt{1-c^2} \le 2\sqrt{2}" title="\sqrt{1-a^2}+ \sqrt{1-b^2}+ \sqrt{1-c^2} \le 2\sqrt{2}" align='absmiddle' />
Co nam się nasuwa? Może spróbujmy z funkcją wklęsłą <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/8/c/8c9529577b857a585b35c5a34abf1160.png' alt="f(x)=\sqrt{x}" title="f(x)=\sqrt{x}" align='absmiddle' />:
<img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/7/4/74e737a6648652d1c29298b3460fa8b9.png' alt="L=f(1-a^2)+f(1-b^2)+f(1-c^2) \le 3f(\frac{3-(a^2+b^2+c^2)}{3})" title="L=f(1-a^2)+f(1-b^2)+f(1-c^2) \le 3f(\frac{3-(a^2+b^2+c^2)}{3})" align='absmiddle' />
na mocy nierówności między średnimi kwadratową i arytmetyczną otrzymamy <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/a/0/a027b933e5e1f8b3930378ea35fb6d4f.png' alt="\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \ge \frac{1}{9}" title="\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \ge \frac{1}{9}" align='absmiddle' />
co daje nam
<img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/a/9/a92f01b6c532dac987da9d3bc43342fa.png' alt="3f(\frac{3-(a^2+b^2+c^2)}{3}) \le 3f(1-\frac{1}{9})=P" title="3f(\frac{3-(a^2+b^2+c^2)}{3}) \le 3f(1-\frac{1}{9})=P" align='absmiddle' />
zaskakująco łatwe... Czy aby na pewno nierówność Jensena była konieczna? Nie! Nasza pierwsze przekształcenie jest równoważne nierówności między średnimi arytmetyczną a kwadratową, którą przy okazji udowodniliśmy dla przypaku 3 zmiennych, a w naturalny sposób dostajemy na tacy dowód dla <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/7/b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png' alt="n" title="n" align='absmiddle' /> zmiennych. Nie należy szaleć i wpychać Jensena tam gdzie nie jest konieczny, choćby dlatego że liczenie pochodnej nie jest zbyt twórcze ani przyjemne, a poza tym elementarny dowód jest bardziej czytelny.
Napisałem o kilku metodach i oto kolejna z nich:
Tak samo jak pomysł rozważania funkcji <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/8/c/8c9529577b857a585b35c5a34abf1160.png' alt="f(x)=\sqrt{x}" title="f(x)=\sqrt{x}" align='absmiddle' /> jest niezbyt odkrywczy, również <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/0/b/0b32b8738a92bd1d373d79c4b4aec78b.png' alt="f(x)=\sqrt{1-x^2}" title="f(x)=\sqrt{1-x^2}" align='absmiddle' /> wydaje się być naturalnym wyborem. I rzeczywiście - jest ona wklęsła i wszystko pasuje. Jest o tyle lepsza że scala dwa kroki z poprzedniego rozwiązania w jeden.
Wspomniałem o nie-równych wagach. Otóż mniej oczywisty jest pomysł zapisania naszej nierówności jako:
<img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/f/5/f5c93fd11907df219c2c227bbe99dadd.png' alt="(b+c)\sqrt{\frac{2a}{b+c}+1}+(c+a)\sqrt{\frac{2b}{c+a}+1}+(a+b)\sqrt{\frac{2c}{a+b}+1} \le 2 \sqrt{2}" title="(b+c)\sqrt{\frac{2a}{b+c}+1}+(c+a)\sqrt{\frac{2b}{c+a}+1}+(a+b)\sqrt{\frac{2c}{a+b}+1} \le 2 \sqrt{2}" align='absmiddle' />
możemy zastosować nierówność Jensena dla wklęsłej funkcji <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/d/d/ddfbbb74f7aacafd3ddd0b3c5a960982.png' alt="f(x)=\sqrt{1+x}" title="f(x)=\sqrt{1+x}" align='absmiddle' /> z wagami <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/d/a/daad09e4651b33b666d6bd11235e0a9b.png' alt="\frac{b+c}{2}, \frac{c+a}{2},\frac{a+b}{2}" title="\frac{b+c}{2}, \frac{c+a}{2},\frac{a+b}{2}" align='absmiddle' />:
<img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/9/a/9a437ab4421728d00f8ca55360d361d3.png' alt="(b+c)f(\frac{2a}{b+c})+(c+a)f(\frac{2b}{c+a})+(a+b)f(\frac{2c}{a+b}) \le 2f(a+b+c) = 2 \sqrt{2}" title="(b+c)f(\frac{2a}{b+c})+(c+a)f(\frac{2b}{c+a})+(a+b)f(\frac{2c}{a+b}) \le 2f(a+b+c) = 2 \sqrt{2}" align='absmiddle' />
Ładnie. Ale skąd to się wzięła ta funkcja? Można by rzec: znikąd, ale jest to prosty przykład zastosowania fajnej i przydatnej metody: zapisać jedną stronę jako sumę wyrażeń postaci <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/0/3/03c4dd174add13da7978001f0a8a425c.png' alt="\alpha_i f(\frac{x_i}{\alpha_i})" title="\alpha_i f(\frac{x_i}{\alpha_i})" align='absmiddle' /> aby po zastosowaniu nierówności Jensena alphy nam się poskracały a zostały tylko interesujące nas zmienne <img style="cursor: pointer;" class="latex" src='/latexrender/pictures/1/b/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.png' alt="x_i" title="x_i" align='absmiddle' /></div></div>
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.